综合利用水库的优化调度受多因素影响，如径流，水库特性、用水特性以及电站的机电特性等，其中径流的影响较大。本文采用马尔可夫单链弹性相关理论处理径流，以供水流量为决策变量，在考虑有效雨量的基础上建立了动态规划数学模型，编制了结构简明，功能完善，便于操作使用的大型优化调度计算程序，自动绘制出三维优化调度图，利用优化调度图进行综合利用水库调节计算，在几乎不增加投资的条件下，产生了巨大的经济效益。经实践证明，本方法准确可靠，适合于大、中、小型水库，也适合于平原水库、地下水库；更适合于我国北方水资源紧缺地区使用。

1 采用离散的马尔可夫随机过程描述径流

1.1 用马尔可夫过程描述径流

为了计算和应用的方便，将时间序列离散化(即分为若干时段：月)，相邻时段存在着依赖关系，以水库来水的3个相邻时段t1、t2、t3间径流关系进行分析。用X1、X2、X3表示3个时段的径流，三者之间的相关情况可分为2种情况：(1)直接相关。即不管X2取值怎样(或不计X2取值的影响)的条件下，X1与X3相关，称为偏相关，其相关程度用相关系数表征，可用数量表示为γ13。(2)间接相关。即因存在着X1和X2、X2和X3之间的相邻时段相关关系，故X1的大小影响着X2的大小，从而又影响着X3的大小。这种相关是由中间量X2传递的，不是直接的，因此叫间接相关。

1.2 计算相应条件概率

当一年分成K个时段(月)，每个时段的径流以平均值来表示，记作QK(K=1,2,3,……,K)。

应用相关理论分析，可以确定相邻时段径流QK,QK-1(如图1所示)的条件概率分布函QK,QK-1的条件概率分布函数示意 数F(QK/QK-1)。其条件概率分布是一个二维分布，用概率理论及水文统计原理来推 求径流的条件概率计算式。

图1 相邻时段径流

研究相邻时段的径流相关联系时，应用相关系数R及回归方程式求得

(1)

隔时段相关系数则为：

(2)

式中：Q1i,Q2i,Q3i为第i年相邻时段的实测径流值；为平均值；n为径流实测系列年数。本时段径流的相关关系，应用相关中的直线相关，以自回归线性公式来表示：

(3)

式中：σK,σK-1分别为时段tk,tk-1的径流均方差；R1为相邻时段径流之间的相关系数。

相邻时段径流之间应用自回归线性相关时，其间隔时段的径流对回归线的偏离值即误差的分布，经刚性和弹性相关比较后，采用了弹性相关处理方法即偏态分布，按皮尔逊Ⅲ型曲线分布。相应于条件概率的流量QPK可由下式求得：

(4)

式中：条件变差系数，其中Cvk为变差系数。一年划分为K个时段，每个时段的径流划分为M级(即M个状态)，则相邻时段的转移概率：Pkij(k=1,2,3,……,k;i,j=1,2,3,……,M)表示的含义是tk-1时段径流为状态i时，tk时段径流为状态j时的概率

而矩阵

(5)

则表示tk-1时段到tk时段状态的转移概率矩阵，显然，这个矩阵的每行各非负元素之和为1，即：

(6)

为了计算Pkij转移概率的方便，取等分的10个概率5%，15%，……95%，这样转移概率的值都为0.1，则相应的条件概率的流量Qpi由式(4)即可求得。

动态规划法是美国数学家贝尔曼提出的，是一种研究多阶段决策过程的数学方法。近年来广泛应用于水资源规划管理领域中

2.1 动态规划数学模型

把径流当作随机过程的水库优化调度图的计算是一个多阶段的随机决策过程。它的计算模型如下。

(1)阶段：将水库调度图按月(或者旬)划分成12个相互关连的阶段(时段)，以便求解

(2)状态：因相邻两个阶段的入库平均流量Qt和Qt+1之间有相关关系，以面临时段初的库水位和本时段预报径流量Qt为状态变量St(Zt-1，Qt)

(3)决策：在时段状态确定后，作一个相应的决定，即面临时段的供水量qt，同时确定了时段末水位，进行状态转移。水库水位分M级，故有M个状态转移，按0.618法在决策域内优选，对每一个状态变量St要选择一最优供水量qt，St～qt关系曲线为时段t的调度线，决策域为(QDmin,t;Qxmax,t)

对决策变量供水量qt进行所有状态优选计算时，还要进行库水位限制的检查判别，若时段末蓄水量V2大于允许的最高蓄水位或限制水位，则在水库蓄满前供水量仍按qt放水计算，当水库蓄满后则按入库水量供水。当入库水量大于电厂最大过水能力时，超过部分作为弃水

(4)状态转移：水库状态和调度图形式有关，因考虑当时入库径流和短期径流因素，水库调度中将一年划分为K个时段，每个时段由时段初库水位Z初和时段流量Qt组成水库的运行状态，而每一种状态有一个相应的决策变量供水流量qt，用函数关系表示为：

qt = q ( Z初 , Qt , tk )

(7)

tk为时段数，每一个决策就有一个相应的时段末库水位，水库进行了状态转移，若将水库的水位划分为Z级，径流划分为M级。一个时段的水库面临状态有Z×M种，全年水库运行状态有K×Z×M种，水库优化调度图就是对全年各种运行状态作出相应决策变量的关系图。

由式(7)可知，当时段tk的初始库水位和径流量已定时，时段的最优决策供水量是一个定值，因而下一时段tK+1的初始库水位(即时段tk末的水位)也就是一个确定值。由于下一时段tK+1的径流不是一个确定值，而是依时段tK的径流Qt变化的随机值，其值由条件概率分布函数(弹性相关)决策。因此，水库在时段tK处于状态i，而时　　段tK+1处于状态j的状态转移概率为Pkij，则有，而矩阵Pk=(Pkij)则表示从时段tK到时段tK+1的水库状态转移概率矩阵，Pk完全由时段tK的调度方式和径流状态转移矩阵决定。经过多年运行后，水库的运行状态达到一个稳定的概率分布

(5)效益函数：水库进行状态转移，伴随着产生了效益函数(包括了工业用水、生活用水、灌溉用水、发电用水及三个保证率)

其中灌溉用水：因灌溉需水量每年、每月、每天都不相同，因此是随机变量，极难编制计算机程序计算，故首次引入《农田水利学》的“有效雨量”概念，使整个优化计算大大简化，完全解决了水量平衡问题，整个优化计算，水量平衡达到100%

有效雨量的计算：从水库灌区试验站获取资料Mij即从1952～1999年历年(i=1952～1999，j为第i年各月(或旬))的灌溉定额(是由历年灌溉试验站实测作物需水量采用通用电算程序计算出的)，而Mmax是48年中最枯水年的灌溉定额。Mmax-Mij=P0ij,i=1952,…,1999,j=1,…,12,逐一列表进行计算。把每年每月的有效雨量加到每年每月的来水量Qt中，因Mmax是常数，所以仅有随机变量Mij。其数学表达式如下：Cixj=Aixj-Bixj，即：

(8)

式中Cij为i年系列j时段(月)的有效雨量，aij为i年系列j时段农作物需水量(j可按日计算后归纳成各农作物生长期所需水量，再换算成月)。bij为i年系列j时段各类农作物综合灌溉水量。

(6)目标函数：根据水库水资源不足的具体情况，拟定在满足生活用水和工业用水保证率的条件下，尽量满足农业用水。目标函数可表示为：满足用水量保证率条件下供水量最大。目标函数计算可用下列分段线性函数求得：

f(st,qt)=qt

Qxmax≥qt≥Qxmin

(9)

f(st,qt)=qt+CA(qt-Qxmin)

Qxmin≥qt≥QDmin

f(st,qt)=Qxmax+CE(qt-Qxmax)

QDmax≥qt≥Qxmax

式中：qt为水库供水量，QDmin为系统供水下限，即保证城市生活用水和工业用水的下限；Qxmin为农业保证供水量与QDmin之和；QDmax为电厂的最大过水能力；Qxmax为农业供水量上限与QDmin之和；CE为发电专用水量小于Qxmin时的折算系数，CA为供水量小于Qxmin时的折算系数，在计算中，可先任意假设CA、CE,CA、CE与Qxmin的保证率成正比。给定一个CA、CE就可递推得出一张优化调度图，用水库多年入库流量资料按调度图进行历时操作计算，若计算结果所得保证率低于要求的保证率，则修改CA、CE重新递推计算(一般递推2～3次即可)，求得另一优化调度图，再进行历时操作，直至所得保证率符合要求为止。即经过试算选择满足保证率要求的CA、CE值。

2.2 动态规划递推方程 以qt为t阶段的决策变量，St(Zt-1,Qt)为t阶段的状态变量，则其逆时序动态规划最优递推方程为：

Ft(St,qt)=max｛ft(St,qt)+Ft+1(St+1)｝ qt∈Qt t=1,2,…,N

(10)

式中：Ft(St,qt)代表水库从时刻t处于状态St出发至水库运行终了时刻N(计算周期末)的目标函数值；ft(St,qt)代表时刻t水库处于状态St取供水量qt时面临时段效益期望值；Ft+1(St+1)代表水库从时刻t+1处于St+1(j状态)出发至时刻期间各时段均采用最优决策时所得的效益期望值；Qt表示计算中t时段所用的入库径流序列；pi,j为t时刻采取qt决策，系统由第t阶段的第i种状态St转移为第t+1阶段的第j种状态St+1时的条件概率，Ft+1相应St+1状态最优决策的效益。

递推方程的约束条件如下：①库水位约束Vmin,t≤Vt≤Vmax,t，即各时段的库水位不低于死水位Vmin,t，也不能超过该时段允许的最高蓄水位Vmax,t。②水量平衡约束Vt+1=Vt+(Qt-qt)·Δt-yt-Et,式中Vt+1、Vt代表时段t末、初的蓄水量；Qt、qt代表t时段平均入库径流量和供水量；yt为弃水量，Et为水库蒸发渗漏损失。③供水约束和输水能力约束QDmax,t≥qt≥QDmin,t。t时段内供水量不能超过水轮机的最大过水能力QDmax,t，也不能小于下限QDmin,t

2.3 动态规划递推计算 采取逆时序逐时段动态规划递推计算，即每时段对所有状态逐一地优选对应的最优决策。对时段的多个入库流量代表值所产生的效益期望值。优选方法采用0.618法，规定搜索点为20个

2.4 优化调度图 Howard用Z变换方法证明式(10)随年数t增加计算是收敛的，进行递推计算采取逆时序递推，即从N时段开始递推到1时段，只要知道FN(SN)即可按式(10)递推计算。开始可取库水位(库容)～蓄水量关系曲线作为初始递推线FN(SN)。当对第一个时段的所有状态优选出最优决策后，即可往前递推一个时段。当第一年逐个时段全部递推计算完毕后，还要进行第二年周期的递推计算，是因为初始递推FN(SN)是任意假设的，故第一年周期递推所得的策略并非稳定的最优策略，必需继续递推至各时段的递推线均收敛为止，这时所得的策略才是稳定的最优策略。递推线收敛的准则是：前后两年周期中同一时段的递推线相差小于规定的相对误差ε即：

|Ft(Si)n-Ft(Si)(n+1)|/Ft(Si)(n+1)≤ε

(11)

式中：Ft(Si)n代表第n年时段t递推线上相应于状态Si的未来效益值；Ft(Si)(n+1)则是第n+1年时段t递推线上同一状态Si相应的未来效益值，ε取0.001。一般最多递推两年就可以收敛，即可得出12时段或36个时段(旬)的最优调度线。这时各时段的最优决策构成一个最优策略，即为优化调度图。显然，因考虑月(或旬)、相隔月(旬)的相关，即多用了一项概率预报，则相应增加了经济效益。由于采用了马尔可夫单链弹性相关理论对径流进行处理，使水库调度图从二维坐标变成三维坐标，形成空间水库优化调度图，再由调度图换成一组以Qt为参数的方程，递推线也由一条变成一组，即优化调度线由一条线变成一组，形成一族调度曲线图，为便于实际调度时使用。

2.5 动态规划计算程序 动态规划的计算是一个非常复杂的过程，不同的规划问题，要用不同的计算程序。我们根据最优化(opt)问题的数学模型［2］，用VISUL C编制了计算程序，用递推方程找出最优解。该程序在PⅡ微机上调试成功，经实践证明其具有功能强大，使用方便，运行速度快等特点，并能自动绘出三维空间水库优化调度图及带有一组参数的调度曲线图。

本方法已应用于山东沐浴、跋山和黄前等几个大中型水库，都取得理想效果。仅以沐浴水库多目标优化调度的应用情况来说明。

沐浴水库位于山东省烟台地区莱阳市，控制流域面积455km2，总库容1.87亿m3。兴利库容1.07亿m3，年平均来水量6900万m3。水库每年向莱阳市供水180.0多万m3，灌溉面积0.93万hm2，水电站分东西电厂，装机容量共为1800kW，是一座具有灌溉、防洪、城市工业、生活供水、发电、养殖等综合利用的大型水利工程。如图2所示。

在沐浴水库优化调度过程中，我们用马尔可夫单链弹性相关理论对径流进行处理，将供水流量作为决策条件，在引入有效雨量的基础上，采用优选迭代试算来满足3个保证率(生活用水保证率、工业用水保证率和灌溉用水保证率)的动态规划算法，协调了生活、工业、灌溉和发电之间的关系。